2000 年考研数学（三） 第 7 题

判 $|f|$ 在某点是否可导 → 先看 $f(a)$ 是否为 $0$；$f(a)=0$ 时算左右导数 $\pm |f^{\prime }(a)|$。坑：不可导要「$f(a)=0$ 且 $f^{\prime }(a)\ne 0$」两个条件同时成立（尖点）。

本题考查 $|f(x)|$ 在一点的可导性判定，核心用左右导数。 若 $f(a)\ne 0$，则 $|f|$ 在 $a$ 附近与 $\pm f$ 同号可导（排除 C、D）；关键看 $f(a)=0$ 的情形。

设 $f(a)=0$，令 $g(x)=|f(x)|$。$g_{-}^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{|f(x)|}{x-a}=-|f^{\prime }(a)|$，$g_{+}^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{|f(x)|}{x-a}=|f^{\prime }(a)|$。

当 $f^{\prime }(a)\ne 0$ 时 $g_{-}^{\prime }(a)=-|f^{\prime }(a)|\ne |f^{\prime }(a)|=g_{+}^{\prime }(a)$，左右导数不等，$|f|$ 在 $a$ 不可导；当 $f^{\prime }(a)=0$ 时二者都为 $0$，仍可导。故充分条件是 B（$f(a)=0$ 且 $f^{\prime }(a)\ne 0$）。