2000 年考研数学（三） 第 6 题

夹逼型选择题只给「上下界之差 $\to 0$」→ 警惕：差 $\to 0$ 不等于各自收敛，$\lim f$ 不一定存在，选「不一定」。坑：别惯性套夹逼准则直接判「存在且为零」。

本题考查夹逼准则的使用前提。 夹逼准则要求两边界 $\phi ,g$ 收敛于同一极限；仅有 $g-\phi \to 0$ 并不能保证 $\phi ,g$ 各自有极限，故不能断定 $\lim f$ 存在。

举反例说明「不一定存在」：取 $\phi (x)={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-|x|},f(x)={\mathrm{e}}^x,g(x)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-|x|}$，则 $\phi \le f\le g$，且 $g-\phi =2{\mathrm{e}}^{-|x|}\to 0$，但 $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\lim {\mathrm{e}}^x$ 不存在。

又如 $\phi =\frac{x^2-1}{x^2+1},f\equiv 1,g=\frac{x^2+2}{x^2+1}$ 时 $\lim f=1\ne 0$，说明「等于零」也不必。综上选 D。