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2000 年考研数学（三）第 5 题

填空题 · 3 分

设随机变量

X

在区间

[- 1, 2]

上服从均匀分布，随机变量

Y = ⎩ ⎨ ⎧ 1, 0, - 1, X > 0, X = 0, X < 0,

则方差

D (Y) =

______.

提示 1

X \sim U [- 1, 2]

密度为

\frac{1}{3}

，先按

X

的正负零求

Y

的分布律。

提示 2

P {Y = - 1} = \int_{- 1}^{0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

，

P {Y = 1} = \int_{0}^{2} \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

，

P {Y = 0} = 0

。

提示 3

D (Y) = E (Y^{2}) - [E (Y)]^{2}

，其中

E (Y^{2}) = 1

（

Y = \pm 1

）。

答案与详解

答案 $\frac{8}{9}$

思路（为什么这么做）

连续

X

经符号/示性变换成离散

Y

→ 用积分求各取值概率得分布律，再套

D (Y) = E (Y^{2}) - (E Y)^{2}

。坑：

Y = \pm 1

时

E (Y^{2}) =

非零概率之和

= 1

；

P {X = 0} = 0

可略。

解答

本题考查连续型 $X$ 经符号函数变换后的离散型 $Y$ 的分布律与方差。

X \sim U [- 1, 2]

，密度

f (x) = \frac{1}{3} (- 1 < x < 2)

。

求

Y

的分布律：

P {Y = - 1} = P {X < 0} = \int_{- 1}^{0} \frac{1}{3} d x = \frac{1}{3}

，

P {Y = 0} = P {X = 0} = 0

，

P {Y = 1} = P {X > 0} = \int_{0}^{2} \frac{1}{3} d x = \frac{2}{3}

。

于是

E (Y) = (- 1) \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

，

E (Y^{2}) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = 1

，故

D (Y) = E (Y^{2}) - [E (Y)]^{2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} .

考点：方差、随机变量函数的分布

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