2000 年考研数学（三） 第 4 题

密度分片、中间有空隙时求 $P\{X\ge k\}=$ 定值 → 按 $k$ 落在各片/空隙分段算积分；答案常是一个区间（空隙段概率不变）。坑：$[1,3]$ 上密度为 $0$，$k$ 取遍整段都成立。

本题考查用概率密度求 $P\{X\ge k\}$，并按 $k$ 落在不同区间分段讨论。 $P\{X\ge k\}={\int }_k^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 是关于 $k$ 的（分段）单调不增函数。

分段计算：当 $k>6$，$P=0$；当 $3<k\le 6$，$P=\frac{2(6-k)}{9}<\frac{2}{3}$；当 $1\le k\le 3$，$P=P\{X\ge 3\}=\frac{2(6-3)}{9}=\frac{2}{3}$；当 $0\le k<1$，$P=\frac{1-k}{3}+\frac{2}{3}>\frac{2}{3}$；当 $k<0$，$P=1$。

其中在 $[1,3]$ 这一整段上 $f=0$，概率不变，恒为 $\frac{2}{3}$。故满足 $P\{X\ge k\}=\frac{2}{3}$ 的 $k$ 为 $1\le k\le 3.$