2000 年考研数学（三） 第 3 题

求 $|f(\mathbf{B})|$ 型行列式 → 先由相似得特征值，再用「${\mathbf{B}}^{-1}$ 取倒数、多项式 $f$ 作用即特征值代入 $f$」，最后 $|M|=\prod {\lambda }_i$。坑：相似只保证特征值相同，别去求具体矩阵。

本题考查相似矩阵特征值相同、以及 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 与 $f(\mathbf{A})$ 的特征值规律。

因为 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，二者特征值相同，故 $\mathbf{B}$ 的特征值也是 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$。${\mathbf{B}}^{-1}$ 的特征值与 $\mathbf{B}$ 互为倒数，即 $2,3,4,5$。

于是 ${\mathbf{B}}^{-1}-\mathbf{E}$ 的特征值为 $2-1,3-1,4-1,5-1=1,2,3,4$，行列式等于特征值之积 $\left|{\mathbf{B}}^{-1}-\mathbf{E}\right|=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.$