2000 年考研数学（三）第 2 题

填空题 · 3 分

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{e ^{x} + e ^{2 - x}} =

______.

提示 1

分母有

e^{x}

与

e^{2 - x}

，提出

e

后凑成

e^{x - 1} + e^{1 - x}

。

提示 2

令

t = e^{x - 1}

，分母化为

1 + t^{2}

，分子

d t = e^{x - 1} d x

恰好出现。

提示 3

积成

\frac{1}{e} arctan e^{x - 1}

，代入上下限

\frac{π}{2} - \frac{π}{4}

。

答案与详解

答案 $\frac{π}{4 e}$

思路（为什么这么做）

分母是

e^{x}

与

e^{c - x}

之和 → 提公因子把它配成

1 + (e^{x - c /2})^{2}

，用

arctan

。坑：上限

x \to + \infty

时

arctan \to \frac{π}{2}

，不是

\frac{π}{4}

。

解答

本题考查反常积分的计算，关键是把分母凑成 $1 + (e^{x - 1})^{2}$ 的形式，配出 $arctan$ 。

分子分母同除

e

：

\frac{1}{e ^{x} + e ^{2 - x}} = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{e ^{x - 1} + e ^{1 - x}} = \frac{1}{e} \cdot \frac{e ^{x - 1}}{1 + ( e ^{x - 1} ) ^{2}}

。

注意到

e^{x - 1} d x = d (e^{x - 1})

，故

\int_{1}^{+ \infty} = \frac{1}{e} \int_{1}^{+ \infty} \frac{d ( e ^{x - 1} )}{1 + ( e ^{x - 1} ) ^{2}} = \frac{1}{e} arctan e^{x - 1}_{1}^{+ \infty} = \frac{1}{e} (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{π}{4 e} .

2000 年考研数学（三） 第 2 题