2000 年考研数学（三） 第 1 题

抽象复合函数求偏导 → 给每个中间变量编号（$f_1^{\prime },f_2^{\prime }$），外导×内偏导逐项相加。坑：$g$ 只有一个中间变量，别漏 $\frac{y}{x}$ 对 $x$ 的导数 $-\frac{y}{x^2}$。

本题考查多元复合函数求偏导（外层为抽象函数 $f,g$）。 对 $x$ 求偏导时把 $y$ 视为常数，用链式法则逐个中间变量相乘相加。

记 $u=xy,v=\frac{x}{y}$，则 $\frac{\partial u}{\partial x}=y,\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{y}$；又 $\frac{y}{x}$ 对 $x$ 的导数为 $-\frac{y}{x^2}$。

于是 $\frac{\partial z}{\partial x}=f_1^{\prime }\cdot y+f_2^{\prime }\cdot \frac{1}{y}+g^{\prime }\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)=y{f}_1^{\prime }+\frac{1}{y}{f}_2^{\prime }-\frac{y}{x^2}{g}^{\prime }.$