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2000 年考研数学（三） 第 17 题
解答题 · 8 分
设向量组 . 试问：当 满足什么条件时，
（1） 可由 线性表示，且表示唯一？
（2） 不能由 线性表示？
（3） 可由 线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.
（1） 可由 线性表示，且表示唯一？
（2） 不能由 线性表示？
（3） 可由 线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.
提示 1
把「线性表示」转化为方程组 是否有解。提示 2
先算 ： 时系数行列式非零，唯一解。提示 3
时化增广矩阵，比较 与 ：不等则无解，相等 则无穷多解，写出通解。答案与详解
答案 （1） 时唯一表示；（2） 且 时不能表示；（3） 且 时表示不唯一，（ 为任意常数）.
思路（为什么这么做）
「 可否由 表示」= 非齐次方程组解的存在与唯一 → 用 与 比较： 唯一、 无穷、不等无解。坑：先用行列式分出 ， 时才需讨论 。
解答
本题考查「 可否由向量组线性表示」等价于非齐次方程组 是否有解（及解的个数）。
记 ，。
（1） 当 时 ，，方程组有唯一解， 可由 唯一线性表示。
（2）（3） 当 时对增广矩阵作初等行变换：。若 ，则 ，方程组无解， 不能表示（即 且 ）。
若 （即 ），则 ，有无穷多解，表示不唯一：通解 ，故 （ 任意）。
记 ，。
（1） 当 时 ，，方程组有唯一解， 可由 唯一线性表示。
（2）（3） 当 时对增广矩阵作初等行变换：。若 ，则 ，方程组无解， 不能表示（即 且 ）。
若 （即 ），则 ，有无穷多解，表示不唯一：通解 ，故 （ 任意）。