2000 年考研数学（三） 第 16 题

证连续函数「至少两个零点」+ 给了 $\int f=0,\int f\cos x=0$ → 第一个零点用 $F={\int }_0^{x}f$ + 罗尔；第二个用 $\int (\cos x-\cos {\xi }_1)f=0$ 反证保号性。坑：巧配因子 $\cos x-\cos {\xi }_1$ 使其在 ${\xi }_1$ 两侧与 $f$ 同号。

本题考查变限积分 + 罗尔定理得第一个零点，再用定积分保号性反证得第二个零点。

第一个零点： 令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $F(0)=0$，$F(\pi )={\int }_0^{\pi }f=0$。$F$ 在 $[0,\pi ]$ 可导，由罗尔定理存在 ${\xi }_1\in (0,\pi )$ 使 $F^{\prime }({\xi }_1)=f({\xi }_1)=0$。

第二个零点（反证）： 假设 $f$ 在 $(0,\pi )$ 内除 ${\xi }_1$ 外无其他零点，则 $f$ 在 $(0,{\xi }_1)$ 与 $({\xi }_1,\pi )$ 内各自不变号且异号，不妨设 $x\in (0,{\xi }_1)$ 时 $f>0$，$x\in ({\xi }_1,\pi )$ 时 $f<0$。

考察 ${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos {\xi }_1)f(x)\mathrm{d}x$：在 $(0,{\xi }_1)$ 上 $\cos x-\cos {\xi }_1>0$、$f>0$；在 $({\xi }_1,\pi )$ 上 $\cos x-\cos {\xi }_1<0$、$f<0$；故被积函数在 $[0,\pi ]$ 上 $\ge 0$ 且不恒为零，积分 $>0$。

但另一方面 ${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos {\xi }_1)f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }f\cos x\mathrm{d}x-\cos {\xi }_1{\int }_0^{\pi }f\mathrm{d}x=0-0=0$，矛盾。故 $f$ 在 $(0,\pi )$ 内至少还有一个异于 ${\xi }_1$ 的零点 ${\xi }_2$，即至少有两个零点。