2000 年考研数学（三） 第 15 题

数项级数 $\sum \frac{c^{n+1}}{n+1}$ 型 → 构造幂级数 $S(x)=\sum \frac{x^{n+1}}{n+1}$，求导得几何级数 $\frac{1}{1-x}$，积分回 $-\ln (1-x)$，再代入 $x=c$。坑：$-\ln (1-\frac{\sqrt{2}}{2})$ 要化简为 $\ln (2+\sqrt{2})$。

本题考查先算定积分通项，再用幂级数和函数求数项级数之和。 先算 $I_n$，凑微分 $\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)$。

$I_n={\int }_0^{\pi /4}{\sin }^{n}x\mathrm{d}(\sin x)=\frac{1}{n+1}{\sin }^{n+1}x{|}_0^{\pi /4}=\frac{1}{n+1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n+1}$。

于是 $\sum _{n=0}^{\infty }{I}_n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n+1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n+1}$。令 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n+1}$，收敛区间 $(-1,1)$，$S^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$，故 $S(x)=-\ln (1-x)$。

代入 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$：$\sum _{n=0}^{\infty }{I}_n=S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\ln \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\ln (2+\sqrt{2}).$