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2000 年考研数学（三）第 14 题

解答题 · 7 分

求函数

y = (x - 1) e^{\frac{π}{2} + a r c t a n x}

的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.

提示 1

求

y^{'}

，提出正因子

e^{\frac{π}{2} + a r c t a n x}

，化简括号得

\frac{x ^{2} + x}{1 + x ^{2}}

。

提示 2

y^{'} = 0 \Rightarrow x = - 1, 0

；列符号表定增减与极值。

提示 3

两端

x \to \pm \infty

分别求

k = lim \frac{y}{x}

（利用

arctan x \to \pm \frac{π}{2}

）与

b = lim (y - k x)

。

答案与详解

答案单调增区间 $(- \infty, - 1]$ 与 $[0, + \infty)$ ，单调减区间 $[- 1, 0]$ ；极大值 $y (- 1) = - 2 e^{π /4}$ ，极小值 $y (0) = - e^{π /2}$ ；斜渐近线 $y = x - 2$ （ $x \to - \infty$ ）和 $y = e^{π} (x - 2)$ （ $x \to + \infty$ ）.

思路（为什么这么做）

含

arctan x

的函数求渐近线 → 因

arctan x \to \pm \frac{π}{2}

，左右两端斜率

k

不同，要分

x \to - \infty

与

x \to + \infty

各求一条斜渐近线。坑：

b = lim (y - k x)

常需洛必达或

e^{u} - 1 \sim u

。

解答

本题考查用一阶导判单调性与极值、并用极限求斜渐近线。 定义域

(- \infty, + \infty)

，

e^{\frac{π}{2} + a r c t a n x} > 0

。

求导：

y^{'} = e^{\frac{π}{2} + a r c t a n x} [1 + \frac{x - 1}{1 + x ^{2}}] = \frac{x ^{2} + x}{1 + x ^{2}} e^{\frac{π}{2} + a r c t a n x}

。令

y^{'} = 0

得

x = - 1, x = 0

。

符号：

x < - 1

时

y^{'} > 0

，

- 1 < x < 0

时

y^{'} < 0

，

x > 0

时

y^{'} > 0

。故增区间

(- \infty, - 1], [0, + \infty)

，减区间

[- 1, 0]

；

x = - 1

取极大值

y (- 1) = - 2 e^{π /4}

，

x = 0

取极小值

y (0) = - e^{π /2}

。

斜渐近线

y = k x + b

：当

x \to - \infty

，

k = lim \frac{y}{x} = e^{\frac{π}{2} - \frac{π}{2}} = 1

，

b = lim (y - x) = - 2

，得

y = x - 2

；当

x \to + \infty

，

k = e^{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} = e^{π}

，

b = lim (y - e^{π} x) = - 2 e^{π}

，得

y = e^{π} (x - 2)

。（无水平、铅直渐近线。）

考点：函数的单调性与极值、导数应用：最值、渐近线、作图

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