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2000 年考研数学（三）第 13 题

解答题 · 6 分

假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是

p_{1} = 18 - 2 Q_{1}, p_{2} = 12 - Q_{2}

，其中

p_{1}, p_{2}

分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元／吨），

Q_{1}, Q_{2}

分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是

C = 2 Q + 5

，其中

Q

表示该产品在两个市场的销售总量，即

Q = Q_{1} + Q_{2}

.

（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；

（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.

提示 1

先写利润

L = R - C

，其中

R = p_{1} Q_{1} + p_{2} Q_{2}

，

C = 2 (Q_{1} + Q_{2}) + 5

。

提示 2

（1）无约束：

\frac{\partial L}{\partial Q _{1}} = \frac{\partial L}{\partial Q _{2}} = 0

直接解。

提示 3

（2）加约束

p_{1} = p_{2}

，即

2 Q_{1} - Q_{2} - 6 = 0

，用拉格朗日乘数法。

提示 4

分别算出两种策略的

L

再比较大小。

答案与详解

答案（1）价格差别： $Q_{1} = 4, Q_{2} = 5, p_{1} = 10, p_{2} = 7$ ，最大利润 $L = 52$ 万元；（2）价格无差别： $Q_{1} = 5, Q_{2} = 4$ ，统一价 $p = 8$ ，最大利润 $L = 49$ 万元；差别定价利润更大（ $52 > 49$ ）.

思路（为什么这么做）

「两市场最大利润」型经济题 → 差别定价=无约束二元极值；统一定价=以

p_{1} = p_{2}

为约束的条件极值（拉格朗日）。坑：成本按销售总量

Q_{1} + Q_{2}

计；一般差别定价利润

\geq

统一定价。

解答

本题考查二元函数（条件）极值在经济中的最大利润应用。 总收益

R = p_{1} Q_{1} + p_{2} Q_{2} = 18 Q_{1} + 12 Q_{2} - 2 Q_{1}^{2} - Q_{2}^{2}

，总利润

L = R - C = - 5 + 16 Q_{1} + 10 Q_{2} - 2 Q_{1}^{2} - Q_{2}^{2}

。

（1）价格差别：无约束求极值，令

\frac{\partial L}{\partial Q _{1}} = 16 - 4 Q_{1} = 0, \frac{\partial L}{\partial Q _{2}} = 10 - 2 Q_{2} = 0

，得

Q_{1} = 4, Q_{2} = 5

，对应

p_{1} = 18 - 8 = 10, p_{2} = 12 - 5 = 7

，最大利润

L (4, 5) = 52

（万元）。

（2）价格无差别（

p_{1} = p_{2}

）：约束

18 - 2 Q_{1} = 12 - Q_{2}

即

2 Q_{1} - Q_{2} - 6 = 0

。用拉格朗日

F = L + λ (2 Q_{1} - Q_{2} - 6)

，解

⎩ ⎨ ⎧ 16 - 4 Q_{1} + 2 λ = 0 10 - 2 Q_{2} - λ = 0 2 Q_{1} - Q_{2} - 6 = 0

得

Q_{1} = 5, Q_{2} = 4

，统一价

p = 8

，最大利润

L = 49

（万元）。

比较：

52 > 49

，实行价格差别策略所得利润大于统一价格的利润。

考点：多元函数的无条件极值、条件极值与拉格朗日乘数法

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