2000 年考研数学（三） 第 12 题

圆域偏心（过原点）+ 含 $\sqrt{x^2+y^2}$ → 极坐标，边界圆写成 $r=-2a\sin \theta$ 型。坑：$\mathrm{d}\sigma =r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 的 $r$ 与被积函数的 $r$ 都要计入（合成 $r^2$）；$\theta$ 范围由直线定。

本题考查二重积分的极坐标计算，关键是把边界曲线化成极坐标下的 $r=r(\theta )$。 被积函数含 $\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $4a^2-x^2-y^2$，用极坐标最简。

曲线 $y=-a+\sqrt{a^2-x^2}$ 即 $x^2+(y+a{)}^2=a^2$（圆心 $(0,-a)$、半径 $a$），极坐标下为 $r=-2a\sin \theta$；直线 $y=-x$ 即 $\theta =-\frac{\pi }{4}$。区域 $D$ 为 $-\frac{\pi }{4}\le \theta \le 0,0\le r\le -2a\sin \theta$。

于是原积分 $={\int }_{-\pi /4}^0\mathrm{d}\theta {\int }_0^{-2a\sin \theta }\frac{r}{\sqrt{4a^2-r^2}}\cdot r\mathrm{d}r$。内层令 $r=2a\sin t$，得 ${\int }_0^{-2a\sin \theta }\frac{r^2}{\sqrt{4a^2-r^2}}\mathrm{d}r=2a^2\left(-\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta \right)$。

再对 $\theta$ 积分：$2a^2{\int }_{-\pi /4}^0\left(-\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta \right)\mathrm{d}\theta =2a^2{\left[-\frac{{\theta }^2}{2}-\frac{1}{4}\cos 2\theta \right]}_{-\pi /4}^0=\left(\frac{{\pi }^2}{16}-\frac{1}{2}\right)a^2.$