2000 年考研数学（三） 第 11 题

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }={\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 且 $\lambda$ 恰为特征根 → 特解乘 $x$：设 $ax{\mathrm{e}}^{\lambda x}$。坑：本题无 $y$ 项，特征根含 $0$；$2$ 是单根，只乘一次 $x$。

本题考查二阶常系数非齐次线性方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }={\mathrm{e}}^{2x}$ 的求解与初值定常数。 自由项为 ${\mathrm{e}}^{2x}$，且 $2$ 是特征根，特解需乘 $x$。

齐次方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }=0$ 的特征方程 ${\lambda }^2-2\lambda =0$，根 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2$，通解 $Y=C_1+C_2{\mathrm{e}}^{2x}$。

因 $2$ 是单根，设特解 $y_0=ax{\mathrm{e}}^{2x}$，代入 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }={\mathrm{e}}^{2x}$ 得 $2a{\mathrm{e}}^{2x}={\mathrm{e}}^{2x}$，故 $a=\frac{1}{2}$。原方程通解 $y=C_1+C_2{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{1}{2}x{\mathrm{e}}^{2x}$。

代入初值：$y(0)=C_1+C_2=1$；$y^{\prime }=2C_2{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+x{\mathrm{e}}^{2x}$，$y^{\prime }(0)=2C_2+\frac{1}{2}=1\Rightarrow C_2=\frac{1}{4},C_1=\frac{3}{4}$。故 $y=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{1}{2}x{\mathrm{e}}^{2x}.$