2000 年考研数学（三） 第 18 题

二次型已写成实线性型平方和 → 正定 ⟺ 这些线性型只在 $\mathbf{X}=0$ 时同时为零 ⟺ 其系数行列式 $\ne 0$。坑：循环三对角行列式按首列展开得 $1+(-1{)}^{n+1}\prod a_i$，符号随 $n$ 变。

本题考查用「平方和为正定」的定义判定：$f$ 已是 $n$ 个实线性型的平方和，$f\ge 0$ 恒成立，正定 ⟺ $f=0$ 只有零解。

对任意 $\mathbf{X}=(x_1,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 有 $f\ge 0$；且 $f=0$ 当且仅当每个平方为零，即齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+a_1{x}_2=0\\ x_2+a_2{x}_3=0\\ ⋮\\ x_{n-1}+a_{n-1}{x}_n=0\\ x_n+a_n{x}_1=0\end{array}$ 成立。

$f$ 正定 ⟺ 该方程组只有零解 ⟺ 系数行列式 $D\ne 0$。按第一列（或循环结构）展开：$D=\left|\begin{array}{ccccc}1& a_1& & & \\ & 1& a_2& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1& a_{n-1}\\ a_n& & & & 1\end{array}\right|=1+(-1{)}^{n+1}{a}_1{a}_2\cdots a_n$。

故当 $1+(-1{)}^{n+1}{a}_1{a}_2\cdots a_n\ne 0$ 时，方程组只有零解，对任意 $\mathbf{X}\ne 0$ 有 $f>0$，即 $f$ 正定。