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2000 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 8 分

（超纲题）假设

0.50, 1.25, 0.80, 2.00

是来自总体

X

的简单随机样本值. 已知

Y = ln X

服从正态分布

N (μ, 1)

.

（1）求

X

的数学期望

E (X)

（记

E (X)

为

b

）；

（2）求

μ

的置信度为

0.95

的置信区间；

（3）利用上述结果求

b

的置信度为

0.95

的置信区间.

提示 1

（1）

X = e^{Y}

，

b = E (e^{Y}) = \int e^{y} \cdot \frac{1}{2 π} e^{- (y - μ)^{2} /2} d y

，配方得

e^{μ + 1/2}

。

提示 2

（2）

\overset{ˉ}{Y} \sim N (μ, \frac{1}{4})

，标准化

2 (\overset{ˉ}{Y} - μ) \sim N (0, 1)

，用

\pm 1.96

；注意

\overset{y}{ˉ} = 0

。

提示 3

（3）对

μ

的区间整体加

\frac{1}{2}

再取

e^{(\cdot)}

（单调）得

b = e^{μ + 1/2}

的区间。

答案与详解

答案（1） $b = E (X) = e^{μ + \frac{1}{2}}$ ；（2） $μ$ 的 $0.95$ 置信区间为 $(- 0.98, 0.98)$ ；（3） $b$ 的 $0.95$ 置信区间为 $(e^{- 0.48}, e^{1.48})$ .

思路（为什么这么做）

对数正态

Y = ln X \sim N (μ, 1)

→

E (X) = e^{μ + 1/2}

（正态矩母函数配方）；参数区间经单调变换

e^{(\cdot)}

平移求

b

的区间。坑：本题（2）（3）是区间估计，已超出现行数三大纲，仅作了解。

解答

注：本题（2）（3）为区间估计，属数三现行大纲的超纲内容（ $2008$ 年后已删）；此处照实转写。

Y = ln X \sim N (μ, 1)

，故

X = e^{Y}

（对数正态）。

（1）

b = E (X) = E (e^{Y}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{y} e^{- \frac{( y - μ ) ^{2}}{2}} d y

。配方（令

t = y - μ

）得

b = e^{μ + \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{( t - 1 ) ^{2}}{2}} d t = e^{μ + \frac{1}{2}}

。

（2） 样本

y_{i} = ln x_{i}

，样本均值

\overset{y}{ˉ} = \frac{ln 0.5 + ln 0.8 + ln 1.25 + ln 2}{4} = 0

。因

\overset{ˉ}{Y} \sim N (μ, \frac{1}{4})

，

2 (\overset{ˉ}{Y} - μ) \sim N (0, 1)

，由

P {- 1.96 < 2 (\overset{ˉ}{Y} - μ) < 1.96} = 0.95

得

μ

的置信区间

(\overset{y}{ˉ} - 0.98, \overset{y}{ˉ} + 0.98) = (- 0.98, 0.98)

。

（3） 由

P {- 0.98 < μ < 0.98} = 0.95

，即

P {- 0.48 < μ + \frac{1}{2} < 1.48} = 0.95

，再由

e^{x}

单调增得

P {e^{- 0.48} < b < e^{1.48}} = 0.95

，故

b

的

0.95

置信区间为

(e^{- 0.48}, e^{1.48})

。

考点：正态总体样本均值与方差的分布、数学期望

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