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2000 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 8 分

设

A, B

是两个随机事件，随机变量

X = {1, - 1, A 出现, A 不出现, Y = {1, - 1, B 出现, B 不出现 .

试证明随机变量

X

和

Y

不相关的充分必要条件是

A

与

B

相互独立.

提示 1

设

p = P (A), q = P (B), r = P (A B)

，先写

X, Y

的两点分布并求

E (X) = 2 p - 1, E (Y) = 2 q - 1

。

提示 2

乘积

X Y

也只取

\pm 1

：算

P {X Y = 1}, P {X Y = - 1}

得

E (X Y) = 1 - 2 p - 2 q + 4 r

。

提示 3

代入

Cov = E (X Y) - E (X) E (Y)

化简为

4 (r - pq)

，令其为

0

。

答案与详解

答案证毕： $Cov (X, Y) = 4 r - 4 pq$ （其中 $p = P (A), q = P (B), r = P (A B)$ ），故 $X, Y$ 不相关 $\Leftrightarrow r = pq \Leftrightarrow P (A B) = P (A) P (B) \Leftrightarrow A, B$ 相互独立.

思路（为什么这么做）

证「示性型

\pm 1

随机变量不相关 ⟺ 事件独立」→ 直接算

Cov (X, Y)

并化成

4 (P (A B) - P (A) P (B))

。坑：

E (X Y)

用

P {X Y = \pm 1}

而非联合表；不相关 ⟺

Cov = 0

⟺

r = pq

恰是独立定义。

解答

本题考查用协方差刻画「不相关」，并把它翻译成事件独立 $P (A B) = P (A) P (B)$ 。 记

P (A) = p, P (B) = q, P (A B) = r

。

X

的分布：

P {X = 1} = p, P {X = - 1} = 1 - p

，故

E (X) = 2 p - 1

；同理

E (Y) = 2 q - 1

。

求

E (X Y)

：

P {X Y = - 1} = P (A \overset{ˉ}{B}) + P (\overset{ˉ}{A} B) = p + q - 2 r

，

P {X Y = 1} = P (A B) + P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 1 - p - q + 2 r

，故

E (X Y) = (- 1) (p + q - 2 r) + 1 \cdot (1 - p - q + 2 r) = 1 - 2 p - 2 q + 4 r

。

于是

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = (1 - 2 p - 2 q + 4 r) - (2 p - 1) (2 q - 1) = 4 r - 4 pq

。因此

X, Y

不相关

\Leftrightarrow Cov (X, Y) = 0 \Leftrightarrow r = pq \Leftrightarrow P (A B) = P (A) P (B)

，即

A, B

相互独立。

考点：协方差与相关系数、事件的独立性

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