1999 年考研数学（三） 第 9 题

「$A\sim B$ 推什么」→ 抓住 $P^{-1}AP=B$，对多项式 $f(A)$（含 $tE-A$）做同一相似变换即得 $f(A)\sim f(B)$。坑：相似只保证特征值同，不保证特征向量同，也不保证可对角化。

本题考查相似矩阵的性质。 $A\sim B$ 意味着存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$。

于是 $P^{-1}(tE-A)P=tE-P^{-1}AP=tE-B$，即 $tE-A\sim tE-B$，（D）正确。

排除：（A）需 $A=B$，一般不成立；（B）相似只保证特征值相同，特征向量一般不同；（C）相似不一定可对角化（如约当块）。故选 D。