1999 年考研数学（三） 第 10 题

「给边缘 + $P\{X_1{X}_2=0\}=1$，求某联合事件」→ 先把「乘积非零」的格子全置 $0$，再用边缘和为定值反解出对角格。坑：$(0,0)$ 格由 $P\{X_2=0\}=\frac{1}{2}$ 减去两侧得 $0$，故 $P\{X_1=X_2\}=0$。

本题考查由约束 $P\{X_1{X}_2=0\}=1$ 反推二维联合分布，再算 $P\{X_1=X_2\}$。 由 $P\{X_1{X}_2=0\}=1$ 得 $P\{X_1{X}_2\ne 0\}=0$，即四个「两者都非零」的联合概率全为 $0$：$P\{X_1=-1,X_2=-1\}=P\{X_1=-1,X_2=1\}=P\{X_1=1,X_2=-1\}=P\{X_1=1,X_2=1\}=0$。

再用边缘分布补全联合分布表。由 $P\{X_1=-1\}=\frac{1}{4}$ 且其两个非零列已为 $0$，得 $P\{X_1=-1,X_2=0\}=\frac{1}{4}$；同理 $P\{X_1=1,X_2=0\}=\frac{1}{4}$。由 $P\{X_2=0\}=\frac{1}{2}$ 得 $P\{X_1=0,X_2=0\}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$。

故 $P\{X_1=X_2\}=P\{-1,-1\}+P\{0,0\}+P\{1,1\}=0+0+0=0$，选 A。