1999 年考研数学（三） 第 11 题

「切线与坐标轴围成图形面积」→ 先由导数几何意义写切线，再求两轴截距得直角三角形，$S=\frac{1}{2}|x_0||y_0|$。坑：曲线两端都「趋于无穷远」，$a\to +\infty$ 与 $a\to 0^{+}$ 的面积趋势相反（$+\infty$ 与 $0$），应分别作答。

本题考查导数的几何意义（切线）与由此围成图形的面积、极限趋势。 切点 $M_0\left(a,\frac{1}{\sqrt{a}}\right)$，$y^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}$，故 $y^{\prime }{|}_{x=a}=-\frac{1}{2a\sqrt{a}}$。

切线方程：$y-\frac{1}{\sqrt{a}}=-\frac{1}{2a\sqrt{a}}(x-a)$，即 $y=-\frac{x}{2a\sqrt{a}}+\frac{3}{2\sqrt{a}}$。

与两轴交点：令 $y=0$ 得 $A(3a,0)$；令 $x=0$ 得 $B\left(0,\frac{3}{2\sqrt{a}}\right)$。围成直角三角形面积 $S=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot \frac{3}{2\sqrt{a}}=\frac{9\sqrt{a}}{4}$。

趋势：当切点沿 $x$ 轴正方向趋于无穷远（$a\to +\infty$）时 $S\to +\infty$；当切点沿 $y$ 轴正方向趋于无穷远（$a\to 0^{+}$）时 $S\to 0$。