1999 年考研数学（三） 第 8 题

「$\mathbf{\beta }$ 能由全组表示但不能由子组表示」→ 关键是缺的那个 ${\mathbf{\alpha }}_m$ 的系数 $k_m\ne 0$，可反解出 ${\mathbf{\alpha }}_m$。坑：${\mathbf{\alpha }}_m$ 换到含 $\mathbf{\beta }$ 的组 $(\mathrm{II})$ 里能表示，但回到 $(\mathrm{I})$ 里不能。

本题考查线性表示的传递与「系数是否为零」的分析。 因 $\mathbf{\beta }$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 表示，存在常数使 $\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$。

又 $\mathbf{\beta }$ 不能由 $(\mathrm{I})$ 表示，故必有 $k_m\ne 0$（否则 $\mathbf{\beta }$ 只用前 $m-1$ 个就能表示，矛盾）。于是 ${\mathbf{\alpha }}_m=-\frac{k_1}{k_m}{\mathbf{\alpha }}_1-\cdots -\frac{k_{m-1}}{k_m}{\mathbf{\alpha }}_{m-1}+\frac{1}{k_m}\mathbf{\beta }$，即 ${\mathbf{\alpha }}_m$ 可由 $(\mathrm{II})$ 表示。

若 ${\mathbf{\alpha }}_m$ 还能由 $(\mathrm{I})$ 表示，则 $\mathbf{\beta }$ 也能由 $(\mathrm{I})$ 表示，与已知矛盾，故 ${\mathbf{\alpha }}_m$ 不能由 $(\mathrm{I})$ 表示。选 B。