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1999 年考研数学（三）第 7 题

选择题 · 3 分

设

f (x, y)

连续，且

f (x, y) = x y + \iint_{D} f (u, v) d u d v

，其中

D

是由

y = 0, y = x^{2}, x = 1

所围区域，则

f (x, y)

等于（　　）

A $x y$
B $2 x y$
C $x y + \frac{1}{8}$
D $x y + 1$

提示 1

\iint_{D} f d u d v

是一个常数，设为

A

，则

f (x, y) = x y + A

。

提示 2

把

f = x y + A

代回

A = \iint_{D} (x y + A) d x d y

，

D : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^{2}

。

提示 3

算出

A = \frac{1}{12} + \frac{A}{3}

，解出

A = \frac{1}{8}

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

看到「

f =

已知式

+ \iint_{D} f

」→ 二重积分是常数

A

，令

f =

式

+ A

回代积分解出

A

。坑：

\iint_{D} x y d x d y = \frac{1}{12}

、

\iint_{D} A d σ = A \cdot 面积 = \frac{A}{3}

都要算对。

解答

本题考查「被积函数含一个未知常数积分」——把二重积分设为常数 $A$ 回代求出。 因

\iint_{D} f d u d v

是常数，记

A = \iint_{D} f d u d v

，则

f (x, y) = x y + A

。

两边在

D

上积分：

A = \iint_{D} (x y + A) d x d y = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} (x y + A) d y d x = \int_{0}^{1} (\frac{x ^{5}}{2} + A x^{2}) d x = \frac{1}{12} + \frac{A}{3}

。

解

A = \frac{1}{12} + \frac{A}{3}

得

\frac{2}{3} A = \frac{1}{12}

，

A = \frac{1}{8}

。故

f (x, y) = x y + \frac{1}{8}

，选 C。

考点：二重积分的概念与性质、二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）

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