1999 年考研数学（三） 第 6 题

「$f$ 与原函数 $F$ 性质」型 → 记牢：$f$ 奇 $\Rightarrow F$ 偶（恒成立）；$f$ 偶 $\Rightarrow F$ 不一定奇；周期/单调都不保持。坑：偶函数的原函数含任意常数，破坏奇性。

本题考查函数与其原函数在奇偶性、单调性、周期性上的关系。 逐一排除即可。

（A）正确：设 $f$ 奇，取 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$。令 $t=-u$：$F(-x)={\int }_a^{-x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{-a}^{x}f(u)\mathrm{d}u={\int }_{-a}^{a}f\mathrm{d}u+{\int }_a^{x}f\mathrm{d}u=F(x)$（前一积分因 $f$ 奇在对称区间为 $0$），故 $F$ 偶。且任一原函数只差常数，仍偶。

反例排除其余：$f=3x^2$（偶）的原函数 $x^3+C$ 不一定奇；$f=\cos x-1$（周期）的原函数 $\sin x-x+C$ 不是周期函数；$f=x$（单增）的原函数 $\frac{x^2}{2}+C$ 不单调。故选 A。