1999 年考研数学（三） 第 5 题

「随机元素组成的行列式求期望」→ 由期望线性性 + 独立乘积期望可拆，$E(\det )=\det (E(X_{ij}))$。坑：$n\ge 2$ 时期望矩阵各行相同，行列式必为 $0$。

本题考查期望的线性性 + 独立时乘积的期望等于期望的乘积。 由行列式定义 $Y=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{X}_{1j_1}{X}_{2j_2}\cdots X_{n{j}_n}$，每一项是 $n$ 个来自不同行不同列的元素之积。

因各 $X_{ij}$ 相互独立，$E(X_{1j_1}{X}_{2j_2}\cdots X_{n{j}_n})=E(X_{1j_1})\cdots E(X_{n{j}_n})=2^n$。故 $E(Y)=\sum _{j_1\cdots j_n}(-1{)}^{\tau }\cdot 2^n$。

这正好等于把每个元素换成其期望 $2$ 后的行列式：$E(Y)=\left|\begin{array}{cccc}2& 2& \cdots & 2\\ 2& 2& \cdots & 2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 2& 2& \cdots & 2\end{array}\right|=0$（$n\ge 2$ 时有相同的行/列，行列式为 $0$）。