1999 年考研数学（三）第 4 题

填空题 · 3 分

在天平上重复称量一重为

a

的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

N (a, 0. 2^{2})

。若以

\overline{X}_{n}

表示

n

次称量结果的算术平均值，则为使

P {∣ \overline{X}_{n} - a ∣ < 0.1} \geq 0.95

，

n

的最小值应不小于自然数 ______.

提示 1

正态总体的样本均值仍正态：

\overline{X}_{n} \sim N (a, 0. 2^{2} / n)

，标准化。

提示 2

把

P {∣ \overline{X}_{n} - a ∣ < 0.1}

写成

2Φ (n /2) - 1 \geq 0.95

。

提示 3

查

Φ (1.96) = 0.975

，解

n /2 \geq 1.96

，向上取整。

答案与详解

答案 $16$

思路（为什么这么做）

「样本均值落在

\pm δ

内概率

\geq

某值，求

n

」→ 用

\overline{X} \sim N (μ, σ^{2} / n)

标准化，化成

2Φ (\cdot) - 1 \geq p

，查分位数

1.96

。坑：解出后

n

要向上取整到自然数。

解答

本题考查正态总体样本均值的分布 $\overline{X}_{n} \sim N (a, \frac{σ ^{2}}{n})$ 加标准化定 $n$ 。 这里

σ = 0.2

，故

\overline{X}_{n} \sim N (a, \frac{0.04}{n})

，

\frac{X _{n} - a}{0.2/ n} \sim N (0, 1)

。

P {∣ \overline{X}_{n} - a ∣ < 0.1} = P {\frac{X _{n} - a}{0.2/ n} < \frac{0.1}{0.2/ n}} = 2Φ (\frac{n}{2}) - 1 \geq 0.95

。

即

Φ (\frac{n}{2}) \geq 0.975

。由

Φ (1.96) = 0.975

得

\frac{n}{2} \geq 1.96

，

n \geq 3.92

，

n \geq 15.37 \dots

，故最小自然数

n = 16

。

1999 年考研数学（三） 第 4 题