1999 年考研数学（三） 第 3 题

求 $A^n$ 型 → 先试算 $A^2$ 找「$A^2=kA$」或「$A^2=E$」之类的降幂关系。坑：本题 $A^2=2A$，故 $A^n-2A^{n-1}=A^{n-1}(A-2E)$ 中 $A^{n-1}(A-2E)$ 恰为 $O$。

本题考查方阵幂的计算——先算 $A^2$ 找规律。 直接计算 $A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right)=2A$。

由 $A^2=2A$ 递推：$A^n=2^{n-1}A$，$A^{n-1}=2^{n-2}A$。

于是 $A^n-2A^{n-1}=2^{n-1}A-2\cdot 2^{n-2}A=2^{n-1}A-2^{n-1}A=O$。