1999 年考研数学（三） 第 2 题

遇到 $\sum n{r}^{n-1}$（或 $\sum n{r}^n$）这类「系数带 $n$」的数项级数 → 构造幂级数、用 $\sum x^n=\frac{x}{1-x}$ 逐项求导求和。坑：收敛域 $|x|<1$，$x=\frac{1}{2}$ 合法。

本题考查幂级数求和——由 $\sum x^n$ 逐项求导得到 $\sum n{x}^{n-1}$。 令 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}(-1<x<1)$。

由逐项可导性：$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(x^n{)}^{\prime }={\left(\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n\right)}^{\prime }={\left(\frac{x}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{(1-x{)}^2}$。

代入 $x=\frac{1}{2}$：$\sum _{n=1}^{\infty }n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=4$。