1999 年考研数学（三） 第 1 题

看到被积函数里出现 $f^{\prime }(x)$ → 分部积分把导数转移到 $x$ 上；本题妙处是「$f$ 的原函数已给出」，$\int f=\frac{\sin x}{x}$ 直接可用。坑：$f$ 本身要对 $\frac{\sin x}{x}$ 求一次导。

本题考查含导数的定积分——用分部积分把 $f^{\prime }$ 转移，再用「$f$ 的原函数是 $\frac{\sin x}{x}$」。 首先 $f(x)={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$，而 $\int f(x)\mathrm{d}x=\frac{\sin x}{x}$。

分部积分：${\int }_{\pi /2}^{\pi }x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[xf(x){]}_{\pi /2}^{\pi }-{\int }_{\pi /2}^{\pi }f(x)\mathrm{d}x={\left[\frac{x\cos x-\sin x}{x}\right]}_{\pi /2}^{\pi }-{\left[\frac{\sin x}{x}\right]}_{\pi /2}^{\pi }$。

代入端点：${\left[\frac{x\cos x-\sin x}{x}\right]}_{\pi /2}^{\pi }=(-1)-\left(-\frac{2}{\pi }\right)=-1+\frac{2}{\pi }$，${\left[\frac{\sin x}{x}\right]}_{\pi /2}^{\pi }=0-\frac{2}{\pi }=-\frac{2}{\pi }$。相减得 $-1+\frac{2}{\pi }+\frac{2}{\pi }=\frac{4}{\pi }-1$。