1999 年考研数学（三） 第 17 题

「$A^{\ast }$ 的特征值/特征向量」→ 转成 $A$：同一特征向量，$A^{\ast }$ 特征值 $=|A|/\lambda$。坑：先用 $A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$ 定参数与 $\lambda$，再用 $|A|=-1$ 定剩余参数，最后回代 ${\lambda }_0=|A|/\lambda$。

本题考查伴随矩阵与原矩阵特征值/特征向量的关系。 由 $A{A}^{\ast }=|A|E$，若 $A$ 可逆则 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$。若 $A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }(\mathbf{\alpha }\ne 0)$，则 $A^{\ast }\mathbf{\alpha }=\frac{|A|}{\lambda }\mathbf{\alpha }$，即 $A$ 与 $A^{\ast }$ 特征向量相同，$A^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda }$。

故 $\mathbf{\alpha }=(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 也是 $A$ 的特征向量，设 $A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$。逐分量：$\{\begin{array}{l}-a+1+c=-\lambda \\ -5-b+3=-\lambda \\ c-1-a=\lambda \end{array}$

第一式与第三式相加得 $2(c-a)=0\Rightarrow c=a$；相减得 $2=-2\lambda \Rightarrow \lambda =-1$；再由第二式 $-2-b=-\lambda =1\Rightarrow b=-3$。

代 $c=a,b=-3$ 算行列式：$|A|=a-3$。由 $|A|=-1$ 得 $a=2$，从而 $c=2$。最后 ${\lambda }_0=\frac{|A|}{\lambda }=\frac{-1}{-1}=1$。故 $a=2,b=-3,c=2,{\lambda }_0=1$。