乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1999 年
1999 年考研数学（三） 第 18 题
解答题 · 7 分
设 为 实矩阵， 为 阶单位矩阵，已知矩阵 ，试证：当 时，矩阵 为正定矩阵。
提示 1
先验证 实对称：。提示 2
对任意 展开 。提示 3
保证第一项 ，第二项 ，故整体 。答案与详解
答案 证明题： 实对称，且对任意 有 ，故 时 正定。
思路（为什么这么做）
证「 正定」→ 定义法：。坑： 可能为 （ 未必列满秩），全靠 兜底，所以必须 、。
解答
本题考查正定矩阵的定义法证明——直接看二次型 的符号。 首先 ，故 是实对称矩阵。
对任意 ：。
当 时，（因 ），，故 。由定义 为正定矩阵，证毕。
对任意 ：。
当 时，（因 ），，故 。由定义 为正定矩阵，证毕。