乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1999 年

1999 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 9 分

假设二维随机变量

(X, Y)

在矩形

G = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1}

上服从均匀分布。记

U = {0, 1, X \leq Y, X > Y, V = {0, 1, X \leq 2 Y, X > 2 Y .

（1）求

U

和

V

的联合分布；（2）求

U

和

V

的相关系数

r

。

提示 1

(U, V)

只取

0/1

；先在矩形里画出

X \leq Y

、

X \leq 2 Y

两条分界线，按面积算四格概率。

提示 2

注意

{X \leq Y} \subset {X \leq 2 Y}

，故

P (U = 0, V = 1) = 0

，其余三格靠面积与归一。

提示 3

U, V

都是

0

1

变量：

E = P (= 1)

，

E (U V) = P (U = 1, V = 1)

，代相关系数公式。

答案与详解

答案（1） $P (U = 0, V = 0) = \frac{1}{4}, P (U = 0, V = 1) = 0, P (U = 1, V = 0) = \frac{1}{4}, P (U = 1, V = 1) = \frac{1}{2}$ ；（2） $r = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ 。

思路（为什么这么做）

「均匀分布 + 指示随机变量

U, V

求相关系数」→ 先按区域面积求

(U, V)

联合分布表，再用

0

1

变量的

E = P (= 1)

、

Cov = E (U V) - E (U) E (V)

。坑：

X \leq Y

蕴含

X \leq 2 Y

，使一格概率为

0

；密度是

\frac{1}{2}

不是

1

。

解答

本题考查二维均匀分布下由指示变量构造的 $(U, V)$ 的联合分布与相关系数。

(X, Y)

在

G

上均匀，密度

f (x, y) = \frac{1}{2} ((x, y) \in G)

（

G

面积为

2

）。注意

X \leq Y \Rightarrow X \leq 2 Y

，故

{U = 0} \subset {V = 0}

。

(1) 各联合概率按面积算：

P (U = 0, V = 0) = P (X \leq Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

；

P (U = 0, V = 1) = P (X \leq Y, X > 2 Y) = 0

；

P (U = 1, V = 0) = P (Y < X \leq 2 Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

；

P (U = 1, V = 1) = 1 - \frac{1}{4} - 0 - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

。

(2) 边缘：

U \sim (0 \frac{1}{4} 1 \frac{3}{4}), V \sim (0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{2})

，

U V

只在

(1, 1)

取

1

，

P (U V = 1) = \frac{1}{2}

。故

E (U) = \frac{3}{4}, E (V) = \frac{1}{2}, E (U V) = \frac{1}{2}

。

D (U) = \frac{3}{4} - (\frac{3}{4})^{2} = \frac{3}{16}, D (V) = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

，

Cov (U, V) = E (U V) - E (U) E (V) = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}

。

r = \frac{Cov ( U , V )}{D ( U ) D ( V )} = \frac{1/8}{\frac{3}{16} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

。

考点：二维随机变量函数的分布、协方差与相关系数、二维随机变量与联合分布

← 1999 年全部题目

1999 年考研数学（三） 第 19 题

1999 年考研数学（三）第 19 题