1999 年考研数学（三） 第 20 题

「证某统计量 $\sim t(n)$」→ 拆成 $\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n)/n}}$：分子标准化正态、分母卡方除以自由度，关键证二者独立。坑：$S^2=\frac{1}{2}\sum (X_i-Y_2{)}^2$ 用的是后 3 个的均值 $Y_2$，故 $\frac{2S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(2)$；$Y_1$ 与后段独立保证独立性。

本题考查用 $t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n)/n}}$ 的构造证明 $t$ 分布。 设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。$Y_1$ 是前 $6$ 个的样本均值，$Y_2$ 是后 $3$ 个的样本均值，故 $Y_1\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{6}\right),Y_2\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{3}\right)$，且 $Y_1,Y_2$ 独立（取自不相交样本）。

于是 $Y_1-Y_2\sim N\left(0,\frac{{\sigma }^2}{6}+\frac{{\sigma }^2}{3}\right)=N\left(0,\frac{{\sigma }^2}{2}\right)$，标准化 $\frac{Y_1-Y_2}{\sigma /\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{\sigma }\sim N(0,1)$。

$S^2=\frac{1}{2}\sum _{i=7}^9(X_i-Y_2{)}^2$ 是后 $3$ 个样本（$n=3$）的样本方差，故 $\frac{(3-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{2S^2}{{\sigma }^2}=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=7}^9(X_i-Y_2{)}^2\sim {\chi }^2(2)$。

$S^2$（由 $X_7,X_8,X_9$ 决定）与 $Y_1$（由 $X_1\cdots X_6$）独立，也与 $Y_2$ 独立，故与 $Y_1-Y_2$ 独立。因此 $Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)/\sigma }{\sqrt{(2S^2/{\sigma }^2)/2}}=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{S}\sim t(2)$，证毕。