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1999 年考研数学（三）第 16 题

解答题 · 7 分

设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续，在

(0, 1)

内可导，且

f (0) = f (1) = 0

，

f (\frac{1}{2}) = 1

。试证：

（1）存在

η \in (\frac{1}{2}, 1)

，使

f (η) = η

；

（2）对任意实数

λ

，必存在

ξ \in (0, η)

，使得

f^{'} (ξ) - λ [f (ξ) - ξ] = 1

。

提示 1

(1) 构造

φ (x) = f (x) - x

，比较

φ (\frac{1}{2})

与

φ (1)

的符号用零点定理。

提示 2

(2) 把结论改写成

[f^{'} - 1] - λ [f - x] = 0

，寻找一个导数含此式的辅助函数。

提示 3

取

h (x) = e^{- λ x} [f (x) - x]

，验证

h (0) = h (η) = 0

后用罗尔定理。

答案与详解

答案证明题。(1) 由介值（零点）定理得 $η \in (\frac{1}{2}, 1), f (η) = η$ ；(2) 构造 $h (x) = e^{- λ x} [f (x) - x]$ ，由 $h (0) = h (η) = 0$ 及罗尔定理得 $ξ$ 。

思路（为什么这么做）

结论出现

f^{'} - λ (\dots)

型 → 用积分因子

e^{- λ x}

构造

h = e^{- λ x} [f (x) - x]

，罗尔定理消去

e^{- λ ξ} \neq = 0

。坑：第(1)问的

f (η) = η

恰好给出

h (η) = 0

，是第(2)问罗尔的右端点。

解答

本题考查零点（介值）定理构造 $f (x) - x$ + 微分中值（罗尔）定理构造辅助函数。

(1) 令

φ (x) = f (x) - x

，它在

[0, 1]

连续。

φ (\frac{1}{2}) = f (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0

，

φ (1) = f (1) - 1 = - 1 < 0

。因

φ (\frac{1}{2}) φ (1) < 0

，由零点定理存在

η \in (\frac{1}{2}, 1)

使

φ (η) = 0

，即

f (η) = η

。

(2) 结论

f^{'} (ξ) - λ [f (ξ) - ξ] = 1

即

[f^{'} (ξ) - 1] - λ [f (ξ) - ξ] = 0

。令

h (x) = e^{- λ x} [f (x) - x]

，则

h^{'} (x) = e^{- λ x} {[f^{'} (x) - 1] - λ [f (x) - x]}

。

而

h (0) = e^{0} [f (0) - 0] = 0

，

h (η) = e^{- λ η} [f (η) - η] = 0

。

h

在

[0, η]

连续、

(0, η)

可导，由罗尔定理存在

ξ \in (0, η)

使

h^{'} (ξ) = 0

。因

e^{- λ ξ} \neq = 0

，得

[f^{'} (ξ) - 1] - λ [f (ξ) - ξ] = 0

，即

f^{'} (ξ) - λ [f (ξ) - ξ] = 1

。

考点：微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）、闭区间上连续函数的性质

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