1999 年考研数学（三） 第 15 题

出现 ${\int }_0^{x}tf(2x-t)\mathrm{d}t$ 这类「被积函数含外层变量 $x$」→ 先换元 $u=2x-t$ 把 $x$ 提到积分限，再对 $x$ 求导。坑：换元后是 ${\int }_x^{2x}$，求导要两端各算并注意 $2x$ 端乘 $2$。

本题考查变限积分——先换元把被积中的 $x$ 处理掉，再对 $x$ 求导。 令 $u=2x-t$（$t:0\to x$ 时 $u:2x\to x$，$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，$t=2x-u$）：${\int }_0^{x}tf(2x-t)\mathrm{d}t={\int }_x^{2x}(2x-u)f(u)\mathrm{d}u=2x{\int }_x^{2x}f(u)\mathrm{d}u-{\int }_x^{2x}uf(u)\mathrm{d}u$。

于是 $2x{\int }_x^{2x}f(u)\mathrm{d}u-{\int }_x^{2x}uf(u)\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\arctan x^2$。两边对 $x$ 求导（用变限积分求导公式，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_x^{2x}=(\cdot ){|}_{2x}\cdot 2-(\cdot ){|}_x$）。

求导并整理，$2xf(2x)$ 相关项相消，得 $2{\int }_x^{2x}f(u)\mathrm{d}u-xf(x)=\frac{x}{1+x^4}$。

取 $x=1$：$2{\int }_1^{2}f(u)\mathrm{d}u-f(1)=\frac{1}{2}$。代入 $f(1)=1$ 得 $2{\int }_1^{2}f-1=\frac{1}{2}$，故 ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{3}{4}$。