1999 年考研数学（三） 第 14 题

右端分段的一阶线性 ODE → 分区间各求通解，初值定一段常数，连续性在分界点定另一段常数。坑：$y(0)=0$ 属于 $x<1$ 段；接点用左右极限相等，而非导数相等。

本题考查一阶线性微分方程的分段求解 + 用连续性拼接常数。 当 $x<1$：$y^{\prime }-2y=2$，通解 $y=\left(2\int {\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x+C_1\right){\mathrm{e}}^{2x}=C_1{\mathrm{e}}^{2x}-1$。

由 $y(0)=0$（$0<1$）得 $C_1-1=0$，$C_1=1$，故当 $x<1$ 时 $y={\mathrm{e}}^{2x}-1$。

当 $x>1$：$y^{\prime }-2y=0$，通解 $y=C_2{\mathrm{e}}^{2x}$。

由 $y(x)$ 在 $x=1$ 处连续：${\mathrm{e}}^2-1=C_2{\mathrm{e}}^2$，得 $C_2=1-{\mathrm{e}}^{-2}$。故 $y=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x}-1,& x<1\\ (1-{\mathrm{e}}^{-2}){\mathrm{e}}^{2x},& x\ge 1\end{array}$。