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1999 年考研数学（三）第 13 题

解答题 · 6 分

设生产某种产品必须投入两种要素，

x_{1}

和

x_{2}

分别为两要素的投入量，

Q

为产出量；若生产函数为

Q = 2 x_{1}^{α} x_{2}^{β}

，其中

α, β

为正常数，且

α + β = 1

。假设两种要素的价格分别为

p_{1}

和

p_{2}

，试问：当产出量为

12

时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

提示 1

这是「定产量、最小成本」的条件极值：目标

C = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2}

，约束

2 x_{1}^{α} x_{2}^{β} = 12

。

提示 2

拉格朗日函数求偏导，前两式相除消

λ

，得

x_{2}

与

x_{1}

的比例关系。

提示 3

代回约束（利用

α + β = 1

化简指数）解出

x_{1}, x_{2}

。

答案与详解

答案 $x_{1} = 6 (\frac{α p _{2}}{β p _{1}})^{β}, x_{2} = 6 (\frac{β p _{1}}{α p _{2}})^{α}$ （此时总费用最小）。

思路（为什么这么做）

经济最优化「产量固定求最省成本」→ 拉格朗日乘数法；两个一阶条件相除消

λ

得要素比

\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{β p _{1}}{α p _{2}}

。坑：善用

α + β = 1

把

x_{1}^{α + β}

合成一次幂。

解答

本题考查条件极值（拉格朗日乘数法）在经济中的应用——固定产量最小化成本。 目标：最小化总费用

C = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2}

，约束

2 x_{1}^{α} x_{2}^{β} = 12

。

构造

F (x_{1}, x_{2}, λ) = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + λ (2 x_{1}^{α} x_{2}^{β} - 12)

，令偏导为零：

⎩ ⎨ ⎧ p_{1} + 2 λ α x_{1}^{α - 1} x_{2}^{β} = 0 p_{2} + 2 λ β x_{1}^{α} x_{2}^{β - 1} = 0 x_{1}^{α} x_{2}^{β} = 6

前两式相除消去

λ

：

\frac{p _{1}}{p _{2}} = \frac{α x _{2}}{β x _{1}}

，即

x_{2} = \frac{p _{1} β}{p _{2} α} x_{1}

。代入约束

x_{1}^{α} x_{2}^{β} = 6

并用

α + β = 1

。

解得

x_{1} = 6 (\frac{p _{2} α}{p _{1} β})^{β}, x_{2} = 6 (\frac{p _{1} β}{p _{2} α})^{α}

。由问题的实际意义，此驻点即为最小费用的投入量。

考点：条件极值与拉格朗日乘数法、多元函数的无条件极值

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