1996 年考研数学（三） 第 9 题

给出「存在不全为零的数使某组合 $=0$」→ 按目标向量组 ${\mathbf{\alpha }}_i\pm {\mathbf{\beta }}_i$ 重组系数，命中线性相关定义。坑：结论只能断定 ${\mathbf{\alpha }}_i\pm {\mathbf{\beta }}_i$ 相关，对 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 各自是否相关无法判定。

本题考查线性相关的定义（存在不全为零的组合系数使组合为零）。 把已知等式按 ${\mathbf{\alpha }}_i\pm {\mathbf{\beta }}_i$ 重新分组。

重组系数：$({\lambda }_i+k_i){\mathbf{\alpha }}_i+({\lambda }_i-k_i){\mathbf{\beta }}_i={\lambda }_i({\mathbf{\alpha }}_i+{\mathbf{\beta }}_i)+k_i({\mathbf{\alpha }}_i-{\mathbf{\beta }}_i)$。于是等式化为 $\sum _{i=1}^m{\lambda }_i({\mathbf{\alpha }}_i+{\mathbf{\beta }}_i)+\sum _{i=1}^m{k}_i({\mathbf{\alpha }}_i-{\mathbf{\beta }}_i)=0$。

因 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m,k_1,\cdots ,k_m$ 不全为零，这正是向量组 ${\mathbf{\alpha }}_i+{\mathbf{\beta }}_i,{\mathbf{\alpha }}_i-{\mathbf{\beta }}_i$ 存在非零线性组合为零，即它们线性相关，选 D。