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1996 年考研数学（三）第 8 题

选择题 · 3 分

设

n

阶矩阵

A

非奇异

(n \geq 2)

，

A^{*}

是矩阵

A

的伴随矩阵，则（　　）。

A $(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 1} A$
B $(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n + 1} A$
C $(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 2} A$
D $(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n + 2} A$

提示 1

记住

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

与

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

。

提示 2

把

(A^{*})^{*}

也用

∣ \cdot ∣ \cdot (\cdot)^{- 1}

展开。

提示 3

(A^{*})^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

求伴随的伴随

(A^{*})^{*}

→ 统一用

M^{*} = ∣ M ∣ M^{- 1}

，配合

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

。坑：一般结论

(A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 2} A

，指数是

n - 2

不是

n - 1

。

解答

本题考查伴随矩阵的公式。 核心恒等式：

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

，以及

∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1}

。

对

A^{*}

再取伴随：

(A^{*})^{*} = ∣ A^{*} ∣ (A^{*})^{- 1} = ∣ A ∣^{n - 1} \cdot (∣ A ∣ A^{- 1})^{- 1} = ∣ A ∣^{n - 1} \cdot \frac{1}{∣ A ∣} A = ∣ A ∣^{n - 2} A

。

故选 C。

考点：伴随矩阵、逆矩阵

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