1996 年考研数学（三）第 7 题

选择题 · 3 分

下述各选项正确的是（　　）。

A若 $n = 1 \sum \infty u_{n}^{2}$ 和 $n = 1 \sum \infty v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{n} + v_{n})^{2}$ 收敛
B若 $n = 1 \sum \infty ∣ u_{n} v_{n} ∣$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}^{2}$ 与 $n = 1 \sum \infty v_{n}^{2}$ 都收敛
C若正项级数 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 发散，则 $u_{n} \geq \frac{1}{n}$
D若级数 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geq v_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则级数 $n = 1 \sum \infty v_{n}$ 收敛

提示 1

判断 (A)：用不等式

(u_{n} + v_{n})^{2} \leq 2 (u_{n}^{2} + v_{n}^{2})

配合比较判别法。

提示 2

(B)(C)(D) 都可用简单反例否定，想

\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \frac{1}{2 n}, \frac{1}{n ^{2}}

之类。

提示 3

特别注意 (D) 中

v_{n}

可以为负，比较判别法只对正项级数成立。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

级数「哪个正确」选择题 → 正确项常靠不等式 + 比较判别法证明，错误项各造一个反例。坑：比较判别法只适用于正项级数，(D) 有

v_{n} < 0

直接失效。

解答

本题考查正项级数比较判别法与反例排除。

(A) 正确：由

0 \leq (u_{n} + v_{n})^{2} \leq 2 (u_{n}^{2} + v_{n}^{2})

，而

\sum u_{n}^{2}, \sum v_{n}^{2}

收敛故

\sum 2 (u_{n}^{2} + v_{n}^{2})

收敛，由比较判别法

\sum (u_{n} + v_{n})^{2}

收敛。

反例排除其余：(B) 取

u_{n} = \frac{1}{n}, v_{n} = \frac{1}{n}

，则

\sum ∣ u_{n} v_{n} ∣ = \sum \frac{1}{n ^{3/2}}

收敛，但

\sum u_{n}^{2} = \sum \frac{1}{n}

发散；(C) 取

u_{n} = \frac{1}{2 n}

，

\sum u_{n}

发散但

u_{n} < \frac{1}{n}

；(D) 取

u_{n} = \frac{1}{n ^{2}}, v_{n} = - 1

，有

u_{n} \geq v_{n}

且

\sum u_{n}

收敛，但

\sum v_{n}

发散。故选 A。

1996 年考研数学（三） 第 7 题