1996 年考研数学（三） 第 6 题

极坐标 $r=\cos \theta$ 型上限 → 乘 $r$ 化 $x^2+y^2=x$ 认出圆，再定直角坐标积分限。坑：$r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 中的 $r$ 是雅可比，转成 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 后消失；区域只是上半圆非整圆。

本题考查极坐标累次积分与直角坐标的相互转化。 先由积分限确定极坐标下的区域，再化到 $x,y$。

积分限 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，$0\le r\le \cos \theta$。由 $r=\cos \theta$ 两边乘 $r$ 得 $r^2=r\cos \theta$，即 $x^2+y^2=x$，也就是 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$。区域是该圆位于 $y\ge 0$ 的上半部分。

化直角坐标（先 $y$ 后 $x$）：$x\in [0,1]$，$y$ 从 $0$ 到上半圆 $y=\sqrt{x-x^2}$。注意 $f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。故原式 $={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{\sqrt{x-x^2}}f(x,y)\mathrm{d}y$，选 D。