1996 年考研数学（三）第 10 题

选择题 · 3 分

已知

0 < P (B) < 1

且

P [(A_{1} + A_{2}) ∣ B] = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B)

，则下列选项成立的是（　　）。

A $P [(A_{1} + A_{2}) ∣ \overset{ˉ}{B}] = P (A_{1} ∣ \overset{ˉ}{B}) + P (A_{2} ∣ \overset{ˉ}{B})$
B $P (A_{1} B + A_{2} B) = P (A_{1} B) + P (A_{2} B)$
C $P (A_{1} + A_{2}) = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B)$
D $P (B) = P (A_{1}) P (B ∣ A_{1}) + P (A_{2}) P (B ∣ A_{2})$

提示 1

对

P [(A_{1} + A_{2}) ∣ B]

用条件概率下的加法公式，比较得

P (A_{1} A_{2} ∣ B) = 0

。

提示 2

由

P (A_{1} A_{2} ∣ B) = 0

推出

P (A_{1} A_{2} B) = 0

。

提示 3

对

P (A_{1} B + A_{2} B)

用加法公式，交叉项

P (A_{1} A_{2} B) = 0

。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

条件概率满足「可加」→ 等价于交事件条件概率为零

P (A_{1} A_{2} ∣ B) = 0

，进而

P (A_{1} A_{2} B) = 0

。坑：

\overset{ˉ}{B}

上不能照搬（排除 A），要落到

P (A_{1} B + A_{2} B)

的加法公式上。

解答

本题考查条件概率与概率加法公式。 由条件先推出

P (A_{1} A_{2} ∣ B) = 0

。

加法公式：

P [(A_{1} + A_{2}) ∣ B] = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B) - P (A_{1} A_{2} ∣ B)

。与题设比较得

P (A_{1} A_{2} ∣ B) = 0

，从而

P (A_{1} A_{2} B) = P (A_{1} A_{2} ∣ B) P (B) = 0

。

于是

P (A_{1} B + A_{2} B) = P (A_{1} B) + P (A_{2} B) - P (A_{1} A_{2} B) = P (A_{1} B) + P (A_{2} B)

，即 B 成立。

1996 年考研数学（三） 第 10 题