1996 年考研数学（三） 第 11 题

分段函数在分界点求导 → 一律回到导数定义；判导函数连续性 → 比较 $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 与 $f^{\prime }(0)$。坑：$\lim f^{\prime }(x)$ 与用定义算的 $f^{\prime }(0)$ 要分别求，两者相等才连续（本题恰都等于 $\frac{1}{2}[g^{\prime \prime }(0)-1]$）。

本题考查分段函数在分界点用导数定义求导，以及导函数的连续性讨论。 分界点 $x=0$ 处必须用定义，不能直接套公式。

（1）当 $x\ne 0$，由商的求导法则 $f^{\prime }(x)=\frac{x[g^{\prime }(x)+{\mathrm{e}}^{-x}]-[g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}]}{x^2}$。当 $x=0$ 用定义：$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}}{x^2}$。因分子在 $0$ 处为 $g(0)-1=0$，用洛必达 $=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)+{\mathrm{e}}^{-x}}{x}=\frac{1}{2}[\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)-g^{\prime }(0)}{x}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-1}{x}]=\frac{1}{2}[g^{\prime \prime }(0)-1]$。

（2）当 $x\ne 0$，$f^{\prime }(x)$ 由初等函数复合而成，连续。只需看 $x=0$：$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g^{\prime }(x)+{\mathrm{e}}^{-x}}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}}{x^2}=[g^{\prime \prime }(0)-1]-\frac{1}{2}[g^{\prime \prime }(0)-1]=\frac{1}{2}[g^{\prime \prime }(0)-1]=f^{\prime }(0)$。因 $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)$，故 $f^{\prime }(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内连续。