1996 年考研数学（三） 第 12 题

隐式方程含变限积分定 $u(x,y)$，再 $z=f(u)$ → 两次隐式求偏导得 $\partial u/\partial x,\partial u/\partial y$，链式带上 $f^{\prime }(u)$。坑：变限积分 ${\int }_y^x$ 对下限 $y$ 求导带负号，正是这个负号使组合式为 $0$。

本题考查由方程确定的隐函数求偏导、复合函数链式法则与变限积分求导。

方程两边对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数，${\int }_y^{x}p\mathrm{d}t$ 对上限 $x$ 求导为 $p(x)$）：$\frac{\partial u}{\partial x}={\phi }^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x}+p(x)$，解得 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{p(x)}{1-{\phi }^{\prime }(u)}$，故 $\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{f^{\prime }(u)p(x)}{1-{\phi }^{\prime }(u)}$。

两边对 $y$ 求偏导（${\int }_y^{x}p\mathrm{d}t$ 对下限 $y$ 求导为 $-p(y)$）：$\frac{\partial u}{\partial y}={\phi }^{\prime }(u)\frac{\partial u}{\partial y}-p(y)$，解得 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-p(y)}{1-{\phi }^{\prime }(u)}$，故 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-f^{\prime }(u)p(y)}{1-{\phi }^{\prime }(u)}$。

代入：$p(y)\frac{\partial z}{\partial x}+p(x)\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f^{\prime }(u)p(x)p(y)}{1-{\phi }^{\prime }(u)}-\frac{f^{\prime }(u)p(x)p(y)}{1-{\phi }^{\prime }(u)}=0$。