1996 年考研数学（三） 第 13 题

被积含 $\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}$ → 认出它是 $\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}$ 的微分，分部把 $x$ 求导掉。坑：$+\infty$ 端两项各自发散，须合并成 $\ln \frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}$ 再取极限得 $0$。

本题考查反常积分（分部积分 + 极限）。 注意 $\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}\right)$，可凑微分后作分部。

$\int \frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}\left(\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}\right)=\frac{x}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}-\int \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}\mathrm{d}x=\frac{x}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+C$。

取 $0\to +\infty$ 的极限。上限：$\underset{x\to +\infty }{\lim }[\frac{x}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)]=\underset{x\to +\infty }{\lim }[x-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}=0$；下限 $x=0$：$\frac{0}{2}-\ln 2=-\ln 2$。故积分 $=0-(-\ln 2)=\ln 2$。