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1996 年考研数学（三）第 14 题

解答题 · 5 分

设

f (x)

在

[0, 1]

上可微，且满足

f (1) = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f (x) d x

。试证：存在

ξ \in (0, 1)

，使得

f (ξ) + ξ f^{'} (ξ) = 0

。

提示 1

观察目标

f + x f^{'} = (x f)^{'}

，构造

φ (x) = x f (x)

。

提示 2

对

\int_{0}^{1/2} x f (x) d x

用积分中值定理，把条件写成

φ (c) = φ (1)

。

提示 3

在

[c, 1]

上用罗尔定理。

答案与详解

答案存在 $ξ \in (0, 1)$ 使 $f (ξ) + ξ f^{'} (ξ) = 0$ （构造 $φ (x) = x f (x)$ ，用积分中值定理 + 罗尔定理，证明见解析）。

思路（为什么这么做）

结论形如

f (ξ) + ξ f^{'} (ξ) = 0

→ 认出是

[x f (x)]^{'}

，构造

φ = x f

找两个相等点用罗尔。坑：

2 \int_{0}^{1/2} x f d x

用积分中值定理时那个

\frac{1}{2}

恰抵消系数

2

，得

φ (c) = φ (1)

。

解答

本题考查「构造辅助函数 + 罗尔定理」及积分中值定理。 目标式

f (ξ) + ξ f^{'} (ξ) = [x f (x)]^{'}_{ξ}

，提示令

φ (x) = x f (x)

。

令

φ (x) = x f (x)

，则

φ^{'} (x) = f (x) + x f^{'} (x)

。由积分中值定理，存在

c \in [0, \frac{1}{2}]

使

\int_{0}^{1/2} x f (x) d x = c f (c) \cdot \frac{1}{2}

，于是

f (1) = 2 \int_{0}^{1/2} x f (x) d x = 2 \cdot c f (c) \cdot \frac{1}{2} = c f (c) = φ (c)

。

又

φ (1) = 1 \cdot f (1) = f (1)

，故

φ (c) = φ (1)

。

φ

在

[c, 1]

上连续、在

(c, 1)

内可导，由罗尔定理存在

ξ \in (c, 1) \subset (0, 1)

使

φ^{'} (ξ) = 0

，即

f (ξ) + ξ f^{'} (ξ) = 0

。

考点：微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）、定积分的概念与性质

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