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1996 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 6 分

设某种商品的单价为

p

时，售出的商品数量

Q

可以表示成

Q = \frac{a}{p + b} - c

，其中

a, b, c

均为正数，且

a > b c

。（1）求

p

在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；（2）要使销售额最大，商品单价

p

应取何值？最大销售额是多少？

提示 1

销售额

R = pQ = \frac{a p}{p + b} - c p

，对

p

求导。

提示 2

令

R^{'} = \frac{ab - c ( p + b ) ^{2}}{( p + b ) ^{2}} = 0

解出唯一正驻点

p = ab / c - b

。

提示 3

由

R^{'}

符号定增减，驻点即最大值点，回代求

R_{m a x}

。

答案与详解

答案（1）当 $0 < p < \frac{ab}{c} - b$ 时销售额增加，当 $p > \frac{ab}{c} - b$ 时销售额减少；（2） $p = \frac{ab}{c} - b$ 时销售额最大， $R_{m a x} = (a - b c)^{2}$ 。

思路（为什么这么做）

经济应用「销售额最大」→ 建立

R = pQ

，用一阶导定单调区间与最值。坑：条件

a > b c

保证驻点

ab / c - b > 0

（落在定义域内）；最大值可化简为完全平方

(a - b c)^{2}

。

解答

本题考查导数在经济中的应用（销售额最值）。 销售额（收益）

R = pQ

，对

p

求导以定单调区间与最值。

R = pQ = \frac{a p}{p + b} - c p = \frac{( a - b c ) p - c p ^{2}}{p + b}

。求导

\frac{d R}{d p} = \frac{ab - c ( p + b ) ^{2}}{( p + b ) ^{2}}

。

（1）令

\frac{d R}{d p} = 0

得

(p + b)^{2} = \frac{ab}{c}

，即

p = \frac{ab}{c} - b

（由

a > b c

知此值

> 0

）。当

0 < p < \frac{ab}{c} - b

时

R^{'} > 0

，销售额随

p

增大而增加；当

p > \frac{ab}{c} - b

时

R^{'} < 0

，销售额减少。

（2）故

p = \frac{ab}{c} - b

时销售额最大，代入得

R_{m a x} = R (\frac{ab}{c} - b) = (a - b c)^{2}

。

考点：函数的单调性与极值、边际与弹性（导数的经济意义）

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