1996 年考研数学（三） 第 16 题

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(y/x)$ 型 → 齐次方程令 $u=y/x$ 化可分离。坑：$\sqrt{x^2+y^2}=|x|\sqrt{1+u^2}$ 的 $|x|$ 使 $x>0$ 与 $x<0$ 方程差一个正负号，须分段写通解。

本题考查齐次微分方程（$u=y/x$ 换元）。 右端可写成关于 $y/x$ 的函数，但 $\sqrt{x^2+y^2}=|x|\sqrt{1+(y/x{)}^2}$ 需按 $x$ 的符号讨论。

当 $x>0$：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}-\sqrt{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2+1}$。令 $u=\frac{y}{x}$，$y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$，代入得 $x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\sqrt{u^2+1}$，即 $\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^2+1}}=-\frac{\mathrm{d}x}{x}$。积分 $\ln (u+\sqrt{u^2+1})=\ln \frac{1}{x}+C_1$，即 $u+\sqrt{u^2+1}=\frac{C}{x}$；由 $-u+\sqrt{u^2+1}=\frac{x}{C}$ 相减解出 $u=\frac{1}{2}\left(\frac{C}{x}-\frac{x}{C}\right)$，故 $y=xu=\frac{1}{2}\left(C-\frac{x^2}{C}\right)$。

当 $x<0$：此时 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}+\sqrt{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2+1}$，令 $u=y/x$ 得 $\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^2+1}}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$，积分得 $u+\sqrt{u^2+1}=-Cx$，解出 $y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{C}-C{x}^2\right)$。