1996 年考研数学（三） 第 17 题

求 $\mathbf{P}$ 使 $(\mathbf{AP}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{AP})$ 对角 → 转成把实对称 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}$ 正交对角化（$\mathbf{P}$ 取正交阵）。坑：$\mathbf{P}$ 要单位化成正交阵，对角元是 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}$ 的特征值 $1,1,1,9$，不是 $\mathbf{A}$ 的特征值。

本题考查分块矩阵求特征值，以及实对称矩阵的正交对角化。 关键恒等式 $(\mathbf{AP}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{AP})={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})\mathbf{P}$，而 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}$ 是实对称阵，用正交阵 $\mathbf{P}$ 化为对角。

（1）$\mathbf{A}$ 分块为 ${\mathbf{A}}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\mathbf{A}}_2=\left(\begin{array}{cc}y& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=({\lambda }^2-1)[{\lambda }^2-(y+2)\lambda +2y-1]$。因 $3$ 是特征值且 $3^2-1\ne 0$，代入右因式 $3^2-3(y+2)+2y-1=0$，即 $2-y=0$，得 $y=2$。

（2）取 $y=2$，${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 5& 4\\ 0& 0& 4& 5\end{array}\right)$。前两坐标已是单位对角块；对 ${\mathbf{A}}_3=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$，$|\lambda \mathbf{E}-{\mathbf{A}}_3|={\lambda }^2-10\lambda +9=0$ 得 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=9$，对应单位正交特征向量 ${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$。

拼成正交阵 $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$，则 $(\mathbf{AP}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{AP})={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})\mathbf{P}=\mathrm{diag}(1,1,1,9)$。