1996 年考研数学（三） 第 18 题

证含基础解系的向量组线性无关 → 设组合为零后左乘 $\mathbf{A}$ 消掉 ${\mathbf{\alpha }}_i$（因 $\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_i=0$），用 $\mathbf{A}\mathbf{\beta }\ne 0$ 逼出系数关系。坑：先得系数和 $=0$，回代用 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 无关，最后才推出 $k_0=0$。

本题考查基础解系的线性无关性，以及用 $\mathbf{A}$ 左乘证明线性无关的技巧。 基础解系 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_t$ 线性无关且 $\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_i=0$。

设 $k_0\mathbf{\beta }+k_1(\mathbf{\beta }+{\mathbf{\alpha }}_1)+\cdots +k_t(\mathbf{\beta }+{\mathbf{\alpha }}_t)=0$，整理为 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_t{\mathbf{\alpha }}_t+(k_0+k_1+\cdots +k_t)\mathbf{\beta }=0$。$(\ast )$

两边左乘 $\mathbf{A}$，因 $\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_i=0$，得 $(k_0+k_1+\cdots +k_t)\mathbf{A}\mathbf{\beta }=0$。又 $\mathbf{A}\mathbf{\beta }\ne 0$，故 $k_0+k_1+\cdots +k_t=0$。

代回 $(\ast )$ 得 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +k_t{\mathbf{\alpha }}_t=0$。由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_t$ 线性无关知 $k_1=\cdots =k_t=0$，再由 $k_0+k_1+\cdots +k_t=0$ 得 $k_0=0$。所有系数为零，故 $\mathbf{\beta },\mathbf{\beta }+{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,\mathbf{\beta }+{\mathbf{\alpha }}_t$ 线性无关。