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1996 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 7 分

假设一部机器在一天内发生故障的概率为

0.2

，机器发生故障时全天停止工作，若一周

5

个工作日里无故障，可获利润

10

万元；发生一次故障仍可获利润

5

万元；发生两次故障所获利润为

0

；发生三次或三次以上则亏损

2

万元，求一周内期望利润是多少？

提示 1

一周内故障次数服从二项分布

X \sim B (5, 0.2)

。

提示 2

按

X = 0, 1, 2, \geq 3

算出四个概率（

P (X \geq 3)

用

1

减前三个）。

提示 3

E (Y) = \sum (利润) \times (对应概率)

。

答案与详解

答案 $E (Y) = 5.20896$ 万元

思路（为什么这么做）

「若干天独立、每天成败」→ 次数服从二项分布，利润是次数的分段函数，求期望即

\sum y_{i} P (X = x_{i})

。坑：

P (X \geq 3)

用补事件

1 - P (0) - P (1) - P (2)

；亏损记为负值

- 2

。

解答

本题考查二项分布与随机变量函数的期望。 一周内故障次数

X \sim B (5, 0.2)

，利润

Y

是

X

的分段函数。

利润

Y = ⎩ ⎨ ⎧ 10, 5, 0, - 2, X = 0 X = 1 X = 2 3 \leq X \leq 5

。各概率：

P (X = 0) = 0. 8^{5} = 0.32768

，

P (X = 1) = (1 5) 0. 8^{4} \cdot 0.2 = 0.4096

，

P (X = 2) = (2 5) 0. 8^{3} \cdot 0. 2^{2} = 0.2048

，

P (X \geq 3) = 1 - 0.32768 - 0.4096 - 0.2048 = 0.05792

。

E (Y) = 10 \times 0.32768 + 5 \times 0.4096 + 0 \times 0.2048 + (- 2) \times 0.05792 = 3.2768 + 2.048 - 0.11584 = 5.20896

（万元）。

考点：数学期望、常见离散分布（二项、泊松、几何等）

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